Un juego de niños y una lección para entender las inversiones

Foto de IStock by RiniSlok

Imagine esto: dos niños, Pedro y Juan, jugando en la plaza del barrio. Ambos juntaron 100 bolitas en un pozo; cada uno puso 50 unidades. El juego consiste en lanzar una moneda al aire y el mejor de 9 lanzamientos se lleva el pozo; es decir, quien logra 5 victorias gana.

Hasta el momento, Pedro lleva 4 victorias y Juan 2. Justo en ese momento aparece la mamá de Juan y le dice: “¡Juaaaaannnnn, ya es suficiente! Para la casa, ahora”. No sé si la historia hace mucho sentido actualmente, pero sí la viví muchas veces en mi época de niñez.

La pregunta es, dado que se interrumpió el juego, ¿ cómo se reparten el pozo de las 100 bolitas entre Pedro y Juan? 

La pregunta que da luces sobre cómo resolver esto es: ¿miramos hacia el pasado o hacia el futuro para asignar el pozo?

Un poco de historia…

Este juego se trata de un problema famoso que dio inicio a la teoría de probabilidades modernas. Antes de la solución de Fermat-Pascal, era ampliamente aceptado dar 4/5 partes a Pedro y el resto a Juan, de hecho, el juego era entre un duque y un marqués, solo que lo actualizamos un poco. Esta solución se basa en mirar hacia el pasado, sabemos que Pedro tenía a su haber 4 victorias de 5, por ende, le correspondería un 80% del pozo y el resto a Juan. 

Dicha solución había sido ideada por Luca Pacioli, ampliamente considerado como unos de los inventores de la contabilidad y a primera vista parece una distribución justa. Sin embargo, para Chevalier de Méré la solución no lo convencía ya que si hacemos el mismo análisis desde la perspectiva de Juan, le correspondería 2/5, así que se generaría un conflicto ya que ambas proporciones suman más de 100%. Así que consultó a Pascal y Fermat sobre cómo dividir el pozo de forma justa en dicho juego.

La solución fue mirar hacia el futuro, qué pasaría si el juego hubiese continuado. Para que pudiese ganar Juan (caja morada en la figura adjunta)), debería ganar 3 juegos consecutivos, en donde, en cada juego tiene una probabilidad del 50% de ganar. Ahora, la probabilidad de ganar tres juegos consecutivos es 0.5x0.5x0.5 es decir, 1/8, mientras que Pedro tendría una probabilidad de ganar el pozo de 7/8, es decir, un 87.5% y que difiere del 80% que se consideraba un resultado “justo” antes de esta solución. Y es, en esta solución, cuando nace el valor esperado y podemos decir que fue la primera valorización de “activos” realizada en el mundo, o al menos la documentada.

Para que Pedro gane (cajas amarillas) debería ocurrir lo siguiente: que gane en el primer lanzamiento ó que pierda en el primero y gane el segundo ó pierda el primer y segundo lanzamiento y gane en el tercero. Eso se expresa de la siguiente forma 0.5+0.5 x 0.5 + 0.5 x 0.5 x 0.5 lo que resulta 7/8.

Qué tiene que ver esto con las inversiones, o cuál es la lección que podemos sacar, simple, que también se valorizan mirando hacia el futuro, es decir, veamos qué pasaría si el “juego de las inversiones” hubiese continuado, por lo que deberíamos medir el valor esperado de los flujos futuros, llevado a valor presente, esto último implica que existe temporalidad en los flujos y a diferencia del juego de niños que se llevó a cabo en un día, en las inversiones debemos esperar varios días, meses o año, con lo cual toma relevancia el traer a valor presente dichos flujos. En definitiva, los mercados no pagan por lo que ya pasó, sino por lo que creen que va a pasar.

Por ejemplo, un fondo mutuo de renta fija en pesos, el componente de incertidumbre, en términos simples, es la tasa de interés futura “r” más un spread, puesto que el flujo de pago es conocido para cada bono, por ende, si por alguna razón consensuamos una trayectoria futura de la tasa, podríamos definir la valorización del instrumento mirando esa evolución, como se muestra en la ecuación adjunta. La tasa “r” está en función del plazo del bono y el cupón, mientras que el spread recoge el riesgo del emisor, pero “r” es un promedio de las trayectorias futuras de la tasa relevantes de interés de la economía, en rigor, sería el valor esperado del mercado de la tasa de interés a ciertos plazos.

Valorización de Bonos P, donde C es el cupón y F el principal, “r” la tasa base relacionada con el plazo, mientras que el spread recoge el riesgo del emisor.

Para la renta variable, en cambio, en términos simples y siguiendo el modelo de Gordon, es el valor presente de los dividendos por recibir. Sin embargo, aquí existen más componentes de incertidumbre, uno es la tasa de descuento R (contiene "r" o tasa base) y las otras, estimar el dividendo del próximo año y su crecimiento en el tiempo, dado ello, podemos decir que existe más riesgo en este tipo de instrumentos o más variables que debemos definir.

En ambos casos, cualquier modificación de las expectativas de las variables relevantes (consenso de la tasa de interés futura, dividendos a percibir, riesgo del emisor, tasa de crecimiento entre otras) implicarán un movimiento en el valor del activo hoy.

Volviendo al juego de los niño, y creo que ya todos se dieron cuenta de que el único problema de la solución es que deberán repartir 87 y 12 bolitas quedando una sin repartir, y que podrían definirla jugando al cachipun. Qué hubiesen dicho Fermat y Pascal al respecto?

Fuente: La historia se basa en un pasaje del libro “Incertidumbre radical” de John Kay y Mervyn King, en el problema de los puntos.

Saludos

Equipo Principia….